Кристаллографические группы (группы симметрии трёхмерного пространства, фёдоровские группы) — набор групп симметрий, которые описывают все возможные симметрии бесконечного количества точек в трёхмерном пространстве. Эта классификация симметрий была сделана независимо и почти одновременно русским математиком Фёдоровым и немецким математиком Шёнфлисом. Полученные сведения играют большую роль в кристаллографии.

Легенда к списку

Символ Германа — Могена

Символ пространственной группы содержит символ решетки Браве (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы. При этом символы осей и плоскостей симметрии в символе могут изменяться на символы винтовых осей и скользящих плоскостей в соответствии с их наличием в данном конкретном кристаллическом пространстве.

Классы

Для обозначения кристаллографических классов (точечных групп) приняты:

•  — ось симметрии n-го порядка.
•  — инверсионная ось симметрии n-го порядка.
•  — плоскость симметрии.
•  или — ось симметрии n-ого порядка и n плоскостей симметрии, проходящих вдоль нее.
•  — ось симметрии порядка n и плоскость симметрии, к ней перпендикулярная .
•  — ось симметрии порядка n и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
•  — ось симметрии n-ого порядка и плоскости параллельные и перпендикулярные к ней.
• или (n — чётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, плоскостей симметрии, проходящих вдоль нее и осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
• (n — нечётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, n плоскостей симметрии, проходящих вдоль нее и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.

Символ Шёнфлиса

• С_n — циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси.

• С_ni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i.
• C_nv (от нем. vertical — вертикальный) — также имеет плоскость симметрии, расположенную вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
• C_nh (от нем. horizontal — горизонтальный) — также имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к главной оси симметрии.

• S₂, S₄, S₆ (от нем. spiegel — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии.

• C_s — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.

• D_n — является группой С_n с добавочными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной оси.

• D_nh — также имеет имеет горизонтальную плоскость симметрии.
• D_nd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет имеет вертикальные диагональные плоскости симметрии, которые идут между осями симметрии второго порядка.

• O, T — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка — группы кубической сингонии. Обозначаются буквой О в случае, если они содержат полный набор осей симметрии октаэдра, или буквой Т, если они содержат полный набор осей симметрии тетраэдра.

• O_h и T_h — также содержат горизонтальную плоскость симметрии
• T_d — также содержат диагональную плоскость симметрии

n может равняться 1, 2, 3, 4, 6.

Список всех 230 групп

В других размерностях

В одномерном пространстве есть всего две симметрии: трансляция и отражение. Примером симметричных фигур могут быть последовательности символов:

... *- *- *- *- *- *- *- ...
... |^_^|^_^|^_^|^_^|^_^|^_^| ...

Так первая бесконечная последовательность симметрична относительно трансляции на три клетки, вторая последовательность симметрична относительно отражения.

В двумерном пространстве существует 17 типов симметрии. (см Двумерные дискретные группы (en))

Трёхмерное пространство обладает 230 симметриями.

Порядок группы симметрий произвольного n-мерного пространства описывается последовательностью A006227.

Последующая классификация

Группы можно разделить на симморфные и несимморфные. Симморфными называются такие симметрии, которые можно составить путём поворота вокруг осей, а также отражения от плоскостей, которые все проходят через одну точку. Симморфные пространственные группы содержат в качестве подгрупп точечные группы симметрии, отвечающие классу, к которому принадлежит данная пространственная группа.

Все 230 групп можно разделить на 32 класса. В каждом классе есть симметрия, оставляющая хотя бы одну точку пространства неподвижной. Количество элементов в классах колеблется от 1 до 28.

Классы можно разделить на системы (сингонии). Есть 7 сингоний. В каждой сингонии найдётся хотя бы одна предельная группа.

См. также

• 11 классов Лауэ

Ссылки

• Пособие по пространственным группам
• Изображения всех 230 групп